Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断它的单调性（不用证明）；
（2）若f（x）的反函数为f^-1（x），解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$；
（3）解关于x的不等式：f[x（x+1）]＞1．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1+x}{1-x}＞0$，求解分式不等式可得f（x）的定义域，利用反比例函数的单调性结合函数图象的变换可得f（x）在定义域（-1，1）内是增函数；
（2）求解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$，等价于在函数f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$中取x=$\frac{1}{2}$求解y值；
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），结合f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，转化为一元二次不等式求解．

解答 解：（1）由$\frac{1+x}{1-x}＞0$，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1），
由于y=lg$\frac{1+x}{1-x}$=lg（-1+$\frac{2}{1-x}$）和y=$\frac{1}{1-x}$在（-1，1）上都是增函数，
∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数；
（2）∵f（x）的反函数为f^-1（x），求解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$，即在函数f（x）=$\frac{1}{1-x}$+lg$\frac{1+x}{1-x}$中取x=$\frac{1}{2}$求解y值，
则y=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}+lg\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2+lg3．
∴解方程f^-1（x）=$\frac{1}{2}$的解为x=2+lg3；
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1，
解得-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜x＜-1或0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，即不等式f[x（x+1）]＞1的解集为（-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，-1）∪（0，$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查函数的单调性的性质，考查函数的反函数的求法，考查函数的值域与其反函数的定义域的关系，训练了利用函数单调性求解不等式，是中档题．