Question

已知集合M为点集，记性质P为“对任意（x，y）∈M，k∈（0，1），均有（kx，ky）∈M”．给出下列集合：①{（x，y）|x²≥y}，
②{（x，y）|2x²+y²＜1}，
③{（x，y）|x²+y²+2x+2y=0}，
④{（x，y）|x³+y³-x²y=0}，
其中具备有性质P的点集的有

②④

．（请写出所有符合的选项）

Answer 1

分析：根据性质P的定义，①③取特殊点进行排除，②④利用定义进行验证即可．

解答：解：①由题意，取点（1，1），则（1，1）∈M，但是（

1

2

，

1

2

）∉M，∴点集M不具备有性质P的点集；
②∵（x，y）∈{（x，y）丨2x²+y²＜1}，
∴2x²+y²＜1，
∵2×(

1

2

x)2+(

1

2

y)2=

1

4

（2x²+y²）＜

1

4

＜1，
∴点集M具备有性质P的点集；
③取点（0，-2），则（0，-2）∈M，但是

1

2

（0，-1）∉M，∴点集M不具备有性质P的点集；
④∵（x，y）∈{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，
∴x³+y³-x²y=0，
∴=(

1

2

x)3+(

1

2

y)3-(

1

2

x)2•

1

2

y=

1

8

（x³+y³-x²y）=0，
∴点集M具备有性质P的点集．
即②④具备有性质P，
故答案为：②④．

点评：本题主要考查与集合有关的新定义题目，难度较大，读懂题意是解决本题的关键．