Question

17．已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线为y=-12x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，即可得到f（x）的解析式；
（2）求出导数，解方程可得极值点，由导数的符号，即可判断极大值，计算可得．

解答 解：（1）函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的导数为
f′（x）=12x²+2ax+b，
即有12+2a+b=-12，4+a+b+5=-12，
解得a=-3，b=-18，
即有f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）f（x）=4x³-3x²-18x+5的导数为
f′（x）=12x²-6x-18=6（x+1）（2x-3），
由f′（x）=0，解得x=-1（$\frac{3}{2}$舍去），
当-3＜x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则有x=-1处取得极大值，且为16．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于中档题．