Question

【题目】已知函数f（x）= ，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；
（2）若存在x1 ， x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；
（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）g（x）= ，y′= ，

x=1时，y=0，y′= ，

故切线方程是：y= x﹣

（2）解：证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，

得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），

令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+ ，（x＞0），

h′（x）= ，

令ω（x）=ex﹣λx，则ω′（x）=ex﹣λ，

由x＞0，得ex＞1，

①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，

故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；

②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，

故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，

∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，

令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），

则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，

又m（e）=0，

若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，

若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，

故λ＞e

（3）解：若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，

即 ﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，

令F（x）= ﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，

F′（x）= ﹣a，F′（1）= ﹣a，

①F′（1）≤0时，a≥ ，F′（x）≤ 递减，

而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F（x）递增，F（x）≤F（1）=0，成立，

②F′（1）＞0时，则必存在x0，使得F′（x）＞0，F（x）递增，F（x）＜F（1）=0不成立，

故a≥

【解析】（1）求出函数的导数，计算x=1时y和y′的值，求出切线方程即可；（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+ ，（x＞0），求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；（3）问题转化为 ﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）= ﹣a（x﹣1），根据函数的单调性求出a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．