Question

（1）现有一个破损的圆块（如图1），只给出一把带有刻度的直尺和一个量角器，请你设计一种方案，求出这个圆块的直径的长度．
（2）如图2，已知△ABC三个角，A，B，C满足sin²B+sin²C-sin²A=sinB•sinC，AD是△ABC外接圆直径，CD=2，BD=3，求∠CAB和AD的长．

Answer 1

分析：（1）方案一：①作破损的圆块内接三角形ABC；②用直尺量出三边的长a，b，c，用余弦定理求出角A；③由正弦定理可求出直径：2R=

a

sinA

．
方案二：①作破损的圆块的三角形ABC；②用直尺量出边长a，用量角器量角A；③由正弦定理可求出直径：2R=

a

sinA

．
（2）利用余弦定理求出∠CAB．在△ADB中，利用余弦定理求出AD即可．

解答：解：（1）方案一：①作破损的圆块内接三角形ABC；
②用直尺量出三边的长a，b，c，用余弦定理求出角A；
③由正弦定理可求出直径：2R=

a

sinA

．
方案二
①作破损的圆块的三角形ABC；
②用直尺量出边长a，用量角器量角A；
③由正弦定理可求出直径：2R=

a

sinA

．…（5分）
（2）由余弦定理得：b²+c²-a²=bc…（7分）
∴cos∠CAB=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

∵0°＜∠CAB＜180°，∴∠CAB=60°，∠CDB=120°，…（9分）
在△ADB中，CB ²=2 ²+3 ²-2×2×3×cos120°=19
∴CB=

9

，
∴AD=

BC

sin∠CAB

=

19

3 2

=

2 57

3

…（12分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．