已知两个椭圆的方程分别是
C1:x2+9y2-45=0,
C2:x2+9y2-6x-27=0、
(1)求这两个椭圆的中心、焦点的坐标;
(2)求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程.
【答案】
分析:(1)先把C
1的方程化为标准方程,根据椭圆的性质可知a,b的值,进而求得c的值.进而可得椭圆C
1的中心和焦点坐标;同样把C
2的方程化为标准方程,根据椭圆的性质可知a,b的值,进而求得c的值.而可得椭圆C
1的中心和焦点坐标.
(2)把两个椭圆方程联立,可求得交点的坐标.设所求圆的方程为x
2+y
2+Dx+Ey+F=0,把A,B两点坐标代入联立方程,即可求得E和F,再利用圆与直线x-2y+11=0相切求得D,进而可得所求圆的方程.
解答:解:(1)把C
1的方程化为标准方程,
得C
1:
.
可知椭圆C
1的中心是原点,
焦点坐标分别是
把C
2的方程化为标准方程,
得C
2:
=1∴a=6,b=2,c=4
.
可知椭圆C
2的中心坐标是(3,0),
点坐标分别
(2)解方程组
所以两椭圆C
1,C
2的交点坐标是A(3,2),B(3,-2)
设所求圆的方程为x
2+y
2+Dx+Ey+F=0、
因为A,B两点在圆上,所以有
解得E=0,F=-3D-13
从而所求圆的方程为x
2+y
2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切,可知方程
+Dx-3D-13=0即5x
2+(22+4D)x-12D+69=0的判别式为0
就是D
2+26D-56=0解得D=2,或D=-28
从而所求圆的方程是x
2+y
2+2x-19=0,或x
2+y
2-28x+71=0、
点评:本题主要考查了椭圆的性质和椭圆与直线及圆的关系.考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力.