Question

【题目】如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF，B，E，F，C四点共圆．证明：CA是△ABC外接圆的直径．

Answer 1

【答案】证明：∵B，E，F，C四点共圆，∴∠DBC=∠EAF．

∵CD为△ABC外接圆的切线，∴∠BCD=∠FAE．

在△BCD与△FAE中，

∵BCAE=DCAF，即 = ，又∠BCD=∠FAE．

∴△BCD∽△FAE，

∴∠DBC=∠EFA．

∴∠DBC=∠CBA，

又∠DBC+∠CBA=180°，

∴∠CBA=90°．

∴CA是△ABC外接圆的直径．

【解析】先证明△BCD∽△FAE，进而可证∠DBC=∠CBA，从而可证∠CBA=90°，即可证CA是△ABC外接圆的直径．