Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求a的值．

Answer 1

分析：联立直线和双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出A，B两点的横纵坐标的积，由以AB为直径的圆经过坐标原点得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得a的值，最后验证是否符合判别式大于0．

解答：解：联立

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．
由△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²＞0，得-

6

＜a＜

6

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=-

2

3-a2

．
所以y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1
=a2•(-

2

3-a2

)+a•

2a

3-a2

+1=1．
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-

2

3-a2

+1=0，解得a=±1．
满足-

6

＜a＜

6

．
所以a的值是±1．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了利用数量积判断两个向量的垂直关系，是中档题．