Question

已知数列{a_n}与圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0和圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0，若圆C₁与圆C₂交于A，B两点且这两点平分圆C₂的周长．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=-3，则当圆C₁的半径最小时，求出圆C₁的方程．

Answer 1

分析：本题综合考查等差数列的概念和等差数列的通项公式、等差数列的证明、直线和圆、圆的方程等相关知识．
（1）根据两圆的交点将圆C₂的周长平分可知圆C₂的圆心在交点A、B的连线上，由此可得|C₁C₂|²=r₁²-r₂²，将二圆化为标注方程代入即得a_n+1和a_n的递推关系，由此可证数列{a_n}是等差数列；
（2）在（1）的基础上易得数列{a_n}的通项公式，以此表示圆C₁的半径是关于n的二次方程，根据其最小值时的n值，可以得到圆C₁的方程．

解答：解：（1）由已知，圆C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-1=0的圆心为
（a_n，-a_n+1），半径为r1=

a 2 n + a 2 n+1 +1

，（2分）
圆C₂：x²+y²+2x+2y-2=0的圆心为（-1，-1），
半径为r₂=2，（3分）
由题意：|C₁C₂|²+r₂²=r₁²，（5分）
则（a_n+1）²+（a_n=1-1）²+4=a_n²+a_n+1²+1，
则an+1-an=

5

2

，所以数列{a_n}是等差数列；（7分）
（2）∵a₁=-3，则an=

5

2

n-

11

2

，（9分）
则r1=

an2+an+12+1

=

1

2

(5n-11)2+(5n-6)2+4

•
=

1

2

50n2-170n+161

，（12分）
∵n∈N₊，则当n=2时，r₁可取得最小值，（13分）
此时，圆C₁的方程是：x²+y²+x+4y-1=0．（14分）

点评：本题横跨解析几何、数列两大数学内容，涉及知识点众多，是规模较大的综合性问题；
要正确的解决问题，必须在分析清楚题意的基础上理清思路，针对性的切入解题；
本题结合图形容易理清思路，注意数形结合在解题中不可替代的作用．