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12.己知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,其中左焦点F(-2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=x+m(m>0)与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求|AB|.

分析 (1)由题意得到关于a,b,c的不等式组,求解不等式组得到a,b,c的值,则椭圆方程可求;
(2)联立直线方程和椭圆方程,利用根与系数的关系求得A,B中的坐标,代入圆x2+y2=1求得m值,再由弦长公式求得|AB|.

解答 解:(1)由题意,$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得:a2=8,b2=4.
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,得3x2+4mx+2m2-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$.
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$,
∴A,B的中点坐标为($-\frac{2m}{3},\frac{m}{3}$),
又线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,
∴$(-\frac{2m}{3})^{2}+(\frac{m}{3})^{2}=1$,解得:$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2×(\frac{3\sqrt{5}}{5})^{2}-8}{3}$=$-\frac{22}{15}$.
则|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{(-\frac{4\sqrt{5}}{5})^{2}+4×\frac{22}{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{5}$.

点评 本题考查椭圆方程的求法,考查了直线和圆锥曲线的位置关系,训练了弦长公式的应用,体现了“设而不求”的解题思想方法,是中档题.

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