精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
17.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴正半轴上,准线l与圆x2+y2=4相切.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)已知直线l和抛物线C交于点A,B,命题P:“若直线l过定点(0,1),则 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-7”,请判断命题P的真假,并证明.

分析 (Ⅰ)由题意可知:准线l的方程为:y=-$\frac{p}{2}$,准线l圆x2+y2=4相切,则$\frac{p}{2}$=2,解得:p=4,即可求得抛物线C的方程;
(Ⅱ)设直线m:y=kx+1,代入抛物线方程由韦达定理可知:x1•x2=-8,y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=-8k2+8k+1,根据向量数量积的坐标运算,即可求得 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=-7.

解答 解:(Ⅰ)依题意,可设抛物线C的方程为:x2=2py,p>0
其准线l的方程为:y=-$\frac{p}{2}$,
∵准线l圆x2+y2=4相切,
∴$\frac{p}{2}$=2,解得:p=4,
故抛物线线C的方程为:x2=8y;….…(5分)
(Ⅱ)命题p为真命题 …(6分)
证明:直线m和抛物线C交于A,B且过定点(0,1),
故所以直线m的斜率k一定存在,…(7分)
设直线m:y=kx+1,交点A(x1,y1)B(x2,y2).
联立抛物线C的方程,$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$
整理得:x2-8kx-8=0,△=64k2+64>0恒成立,…(8分)
由韦达定理得:x1+x2=8k,x1•x2=-8,…(9分)
y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1=-8k2+8k+1
 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=-8+-8k2+8k+1=-7,
∴命题P为真命题.…(12分).

点评 本题考查抛物线的标准方程及性质,考查点到直线的距离公式,直线与抛物线的位置关系,向量数量积的坐标运算,考查计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

7.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}{f}^{'}(e)x+xlnx$(其中,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求f′(e);
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)若整数k使得f(x)>k(x-1)恒成立,求整数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

8.已知x、y满足曲线方程x2+$\frac{1}{{y}^{2}}$=2,则x2+y2的取值范围是(  )
A.[0,+∞)B.[2,+∞)C.[$\frac{1}{2}$,+∞)D.[$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

5.在△ABC中,已知$a=3,b=2,c=\sqrt{19}$,求△ABC的面积S.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

12.已知复数z=$\frac{1}{1+i}$,则(  )
A.z的实部为-$\frac{1}{2}$B.z的虚部为-$\frac{1}{2}$i
C.|z|=$\frac{1}{2}$D.z的共轭复数为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

2.如图所示,四边形ABCD是菱形,边长为2,∠BAD=60°,E为边AD的中点,点F在边AB上运动,点A关于直线EF的对称点为G,则线段CG的长度最小值为(  )
A.$\sqrt{7}-1$B.2C.$\sqrt{5}-1$D.$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

9.某单位有职工200名,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1-200编号,并按编号顺序平均分为40组.若第5组抽出的号码为22,则第10组抽出的号码应是(  )
A.45B.46C.47D.48

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

6.已知m∈R且m<-1,试解关于x的不等式:(m+3)x2-(2m+3)x+m>0.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

7.已知函数y=2cosx的定义域为[$\frac{π}{3}$,$\frac{4π}{3}$],值域为[a,b],则b-a的值是(  )
A.2B.3C.$\sqrt{3}$+2D.$2\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

同步练习册答案