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16.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-(a-1)x(a∈R).
(1)若f(1)=2,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,若不等式f(k•2x)+f(4x+1)>0恒成立,求实数k的取值范围.

分析 (1)求f(1)=1-a+1=2,得出a值,只需求出但x<0时的解析式即可;
(2)先判断奇函数的单调性,整理不等式可得(2x2+k2x+1>0恒成立,令t=2x,t>0,得出k>-t-$\frac{1}{t}$,只需求右式的最大值即可.

解答 解:(1)f(1)=1-a+1=2,a=0,
∴当x>0时,f(x)=x2+x,
当x<0时,f(x)=-f(-x)=-x2+x,
当x=0时,f(0)=0;
(2)当x>0时,f(x)=x2+x,
∴f(x)在x>0时为递增函数,由奇函数的性质可知f(x)在R上也为增函数,
∵f(k•2x)+f(4x+1)>0恒成立,
∴(2x2+k2x+1>0恒成立,
令t=2x,t>0,
∴t2+kt+1>0恒成立,t>0,
∴k>-t-$\frac{1}{t}$,
∵-t-$\frac{1}{t}$≤-2,
∴k>-2.

点评 考查了奇函数的性质,利用性质解决恒成立问题.注意恒成立问题的转换.

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