Question

【题目】（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

Answer 1

【答案】(1)同解析（2）异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.（3）点A到平面PCD的距离d＝

【解析】解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)

由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由VP-ACD=VA-PCD，

得S△ACD·OP＝S△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

∞〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

则n·＝0，所以 -x0+ x0=0,

n·＝0， -x0+ y0=0，　

即x0=y0=x0,　

取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝