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    （2009•上海模拟）已知数列{an满足a1=
    2
    5
    ，且对任意n∈N*，都有
    an
    an+1
    =
    4an+2
    an+1+2
    ．
    （Ⅰ）求证：数列{
    1
    an
    }为等差数列，并求{an}的通项公式；
    （Ⅱ）试问数列{an}中ak•ak+1是否仍是{an}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）通过对已知条件的转化，可以得到
    1
    an+1
    -
    1
    an
    =
    3
    2
    ，所以数列{
    1
    an
    }    是
    5
    2
    为首项，公差
    3
    2
    的等差数列，继而可求an
    （Ⅱ）得到an=
    2
    3n+2
    之后，ak•ak+1=
    2
    3k+2
    •
    2
    3(k+1)+2
    =
    4
    9k2+21k+10
    =
    2
    3 •
    3k2+7k+2
    2
    +2
    ，再去判断就容易了．
    解答：解：（Ⅰ）∵anan+1+2an=4anan+1+2an+1，2an-2an+1=3anan+1，
    ∴
    1
    an+1
    -
    1
    an
    =
    3
    2
    ，
    所以数列{
    1
    an
    }    是
    5
    2
    为首项，公差
    3
    2
    的等差数列．                     …（4分）
    可得数列{
    1
    an
    }    的通项公式
    1
    an
    =
    3n+2
    2
    ，所an=
    2
    3n+2
    ．…（6分）
    （Ⅱ）ak•ak+1=
    2
    3k+2
    •
    2
    3(k+1)+2
    =
    4
    9k2+21k+10
    =
    2
    3•
    3k2+7k+2
    2
    +2
    ．                        …（8分）
    因为
    3k2+7k+2
    2
    =k2+3k+1+
    k(k+1)
    2
    ，…（10分）
    k是正整数时，
    k(k+1)
    2
    一定是正整数，所以
    3 k2+7k+2
    2
    是正整数．
    （也可以从k的奇偶性来分析）
    所以ak•ak+1是数{an}中的项，是
    3k2+7k+2
    2
    项．                 …（12分）
    点评：本题考查数列的递推关系，解题的关键是对条件合理转化，通过转化后可求an，从而可以判断ak•ak+1是否为数列an中的项．
    练习册系列答案
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    （2009•上海模拟）在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=
    a+2
    2
    ，可得：2=
    2+2
    2
    ＜a′=
    a+2
    2
    ＜
    a+a
    2
    =a≤3    ，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=
    n
    m
    ，m，n∈N*，并且n＜m}    没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=
    n0
    m0
    是B中的最大数，则可以找到x'=
    n0+1
    m0+1
    n0+1
    m0+1
    （用m0，n0表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．

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    （2009•上海模拟）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
    （1）若关于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为
    		6
    ，求实数a的值；
    （2）已知关于x的不等式sinxcosx+
    		3
    cos2x+b＞0    ，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过
    π
    3
    ，求实数b的取值范围；
    （3）已知关于x的不等式组
    7
    x+1
    ＞1 
    log2x+log2(tx+3t)＜2
    的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．

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    （2009•上海模拟）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x||x-2|＜2，x∈R}，那么集合A∩B=
    {x|0＜x≤3}
    {x|0＜x≤3}
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•上海模拟）已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，B={ω|ω=z1•z2，z1、z2∈A}，（z1可以等于z2），从集合B中任取一元素，则该元素的模为
    		2
    的概率为
    2
    7
    2
    7
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•上海模拟）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
    x4
    上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）证明：数列{yn}是等差数列；
    （2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
    （3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

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