Question

函数y=a^2-x（a＞0且a≠1）的图象过定点A，若点A的坐标满足方程mx+ny=1（m，n＞0），则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,指数函数的图像与性质

专题：不等式的解法及应用

分析：函数y=a^2-x（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，1），又点A的坐标满足方程mx+ny=1（m，n＞0），可得2m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵函数y=a^2-x（a＞0且a≠1）的图象过定点A（2，1），
又点A的坐标满足方程mx+ny=1（m，n＞0），
∴2m+n=1．
则

1

m

+

1

n

=（2m+n）(

1

m

+

1

n

)=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m × 2m n

=3+2

2

，当且仅当n=

2

m=

2

-1时取等号．
∴

1

m

+

1

n

的最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了指数函数的运算性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．