Question

二次函数f（x）=x²+2ax+2a+1．
（1）若对任意x∈R有f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性；
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，1]有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，据二次函数性质有△≤0，解出即可；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，按对称轴x=-a与区间[0，1]的位置关键分三种情况讨论即可；
（3）|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立等价于f（x）_max-f（x）_min≤1，由（2）分情况求得其最大值、最小值即可得一不等式，解出即得a的范围．

解答：解：（1）f（x）≥1?x²+2ax+2a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△=4a²-8a≤0，解得0≤a≤2，
∴a的范围是[0，2]；
（2）f（x）=（x+a）²-a²+2a+1，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=-a，
讨论：①当-a≤0即a≥0时，f（x）在区间[0，1]上单调递增；
②当0＜-a＜1即-1＜a＜0时，f（x）在区间[0，-a]上单调递减，在区间[-a，1]上单调递增；
③当-a≥1即a≤-1时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．
（3）由题意知，|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立等价于f（x）_max-f（x）_min≤1，
f（0）=2a+1，f（1）=4a+2，f（-a）=-a²+2a+1，
由（2），

a≥0 f(1)-f(0)≤1

或

-1＜a＜0 f(1)-f(-a)≤1或f(0)-f(-a)≤1

或

a≤-1 f(0)-f(1)≤1

，
解得-1≤a≤0．

点评：本题考查二次函数的性质及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，对于函数恒成立问题，往往转化为函数最值问题加以解决，属中档题．