Question

6．已知y=f（x）对任意x有f（-x）=f（x），f（x）=-f（x+1），且在[0，1]上为减函数，则（　　）

• A． f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$）
• B． f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{5}$）
• C． f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{5}$）
• D． f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{3}$）＜f（$\frac{7}{2}$）

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x），f（x）=-f（x+1），可得函数的奇偶性和周期性，结合函数的单调性进行比较即可．

解答 解：f（-x）=f（x）得函数为偶函数，
由f（x）=-f（x+1）得f（x+1）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（$\frac{7}{2}$）=f（$\frac{7}{2}$-4）=f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），f（$\frac{7}{3}$）=f（$\frac{7}{3}$-2）=f（$\frac{1}{3}$），
f（$\frac{7}{5}$）=f（$\frac{7}{5}$-2）=f（-$\frac{3}{5}$）=f（$\frac{3}{5}$），
∵f（x）在[0，1]上为减函数，
∴$\frac{1}{3}$＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{5}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）＞f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{3}{5}$），
即f（$\frac{7}{5}$）＜f（$\frac{7}{2}$）＜f（$\frac{7}{3}$），
故选：A

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的奇偶性和单调性以及函数的周期性是解决本题的关键．