Question

如图，已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁和棱CC₁上的中点，求证：四边形EBFD₁是菱形．

Answer 1

分析：根据菱形的定义直接证明即可．

解答：证明：取棱BB₁中点为G，连C₁G、EG，
由正方体性质，侧面AB B₁A₁为正方形，
又E、G分别为边AA₁、BB₁中点，
所以 EG=A₁B₁=C₁D₁，EG∥A₁B₁∥C₁D₁，
从而四边形EGC₁D₁为平行四边形，
∴D₁E∥C₁G，D₁E=C₁G，
又F、G分别为棱CC₁、BB₁中点，
由侧面CB B₁C₁为正方形，知四边形BGC₁F 为平行四边形，
所以BF∥C₁G，BF=C₁G，
又∴D₁E∥C₁G，D₁E=C₁G，
由平行公理可知D₁E=BF，D₁E∥BF，
从而四边形EBFD₁ 为平行四边形．
由ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，不妨设其棱长为a，易
知 BE=BF=

5

2

a
而由四边形 EBFD₁为平行四边形，从而即为菱形．

点评：本题主要考查菱形的判断和证明，利用平行的传递性是解决本题的关键．