Question

【题目】已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若关于的方程在区间内无零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是．（2）

【解析】

（1）求出导数，然后由得增区间，得减区间．

（2）在上，方程化为，求出导函数，

由时，，因此对分类讨论，时，恒成立，时，有解，通过研究的单调性可得到的单调性，由零点存在定理确定有无零点．综合后可得结论．

（1）依题意，．

令，解得，故函数的单调增区间是，

由，得，单调减区间是．

（2）原方程可化为，即．

令，，则．

是增函数，时，，

(ⅰ)当时，恒成立．

在上是增函数，，故原方程在内无零点．

(ⅱ)当时，由得，时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增．

又，在区间上恒小于0．∴，

下面讨论的正负；

令，．

则，

令是的导函数，

则，在上增函数．

．即，又

由零点存在性定理知，原方程在上有零点．即在上有零点．

综上所述，所求实数的取值范围是．