Question

【题目】函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③ ．
（1）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（2）若f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥1对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令x= ，y=3得f（1）=[f（ ）]3，∵ ．∴所以f（1）＞1．

令x=1，则f（xy）=f（y）=[f（1）]y，

即f（x）=[f（1）]x，为底数大于1的指数函数，

所以函数f（x）在R上单调递增

（2）解：f（xy）=[f（x）]y中令x=0，y=2有f（0）=[f（0）]2，对任意x∈R，有f（x）＞0，

故f（0）=1，

f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥1即f（4x+a2x+1﹣a2+2）≥f（0），

由（1）有f（x）在R上是单调增函数，即：4x+a2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立

令2x=t，t＞0则t2+2at﹣a2+2≥0在（0，+∞）上恒成立．

i）△≤0即4a2﹣4（2﹣a2）≤0得﹣1≤a≤1；

ii） 得 ．

综上可知

【解析】（1）利用赋值法求f（1），然后根据指数函数的性质确定函数的单调性．（2）利用函数的单调性将不等式转化为4x+a2x+1﹣a2+2≥0任意x∈R恒成立，然后利用指数不等式的性质求a的取值范围．