Question

已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，OC=

1

2

r，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在

AB

上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

Answer 1

如图甲，

设∠DBC=α（0＜α＜

π

2

），
则BD=

3r

2

cosα，DC=

3r

2

sinα，
所以S△BDC=

1

2

BD•DC=

1

2

•

3r

2

cosα•

3r

2

sinα
=

9

16

r2sin2α≤

9

16

r2，
当且仅当α=

π

4

时取等号，
此时点D到BC的距离为

3

4

r，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，
因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为

9

16

r2．
如图乙，

设∠EOD=θ，则OE=rcosθ，DE=rsinθ，
所以S△BDE=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，θ∈[

π

3

，

π

2

]．
设f(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)sinθ，则f′(θ)=

1

2

r2(1+cosθ)(2cosθ-1)，
当θ∈[

π

3

，

π

2

]时，f'（θ）≤0，所以θ=

π

3

时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为

3 3

8

r2．
因为

3 3

8

r2＞

9

16

r2，
所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为

3 3

8

r2．