Question

15．在圆的内接四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，求四边形ABCD的外接圆半径．

Answer 1

分析 连接AC，在△ABC、△ACD中分别用由余弦定理求AC²，两式右边相等消去AC²，式子两角是互补的，得出角的正弦值，可求出sin∠ADC和AC，利用正弦定理得直径，除以2得半径．

解答 解：连接AC，在△ABC中由余弦定理，得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=1²+2²-2×1×2cos∠ABC=5-4cos∠ABC，（3分）
在△ACD中由余弦定理，得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=4²+3²-2×4×3cos∠ADC=25-24cos∠ADC，（6分）
从而得5-4cos∠ABC=25-24cos∠ADC，
又∠ADC=π-∠ABC，故cos∠ADC=$\frac{5}{7}$，（9分）
sin∠ADC=$\frac{2\sqrt{6}}{7}$，
所以AC2=25-24×$\frac{5}{7}$=$\frac{55}{7}$．（10分）
由2R=$\frac{AC}{sin∠ADC}$=$\sqrt{\frac{55}{7}}×\frac{7}{2\sqrt{6}}$，
解得R=$\frac{\sqrt{2310}}{24}$（16分）

点评 本题两次用到余弦定理，衔接点有两处，一是有一条公共边，二是式子中两个角互补，圆内接四边形的对角补，要从图中读出，这点很重要；正弦定理记忆的时候要全面，它的比值是三角形外接圆的直径，知道这一点，问题迎刃而解．