【题目】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若,证明:;
(3)若,直线与曲线相切,证明:.
(参考数据:,)
【答案】(1)在上单调递增, 在上单调递减;(2)见证明;(3)见证明
【解析】
(1)先求得,利用当,得的单调递增区间,由,得的单调递减区间.
(2)分析可得0是的极小值点,求得a,构造函数,利用导函数分析可得在上单调递减,在上单调递增.则.
从而.
(3)设切点为,列出消掉k,得到.构造函数,分析可得.
构造,分析得到为增函数,可得.得到.
(1).
当,得,则在上单调递增;
当,得,则在上单调递减.
(2)因为,所以,则0是的极小值点.
由(1)知,则.
设函数,则.
设函数,则.易知.
则恒成立.
令,得;令,得.
则在上单调递减,在上单调递增.
则.
从而,即.
(3)设切点为,
当时,,
则
则.
即.
设函数,
,则为增函数.
又,,
则.
设,则.
若,则,为增函数.
则.又.
故.
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【题目】已知椭圆C:过点A(﹣1,),B(),F为椭圆C的左焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点B为直线l1:x+y+2=0与直线l2:2x﹣y+4=0的交点,过点B的直线1与椭圆C交于D,E两点,求△DEF面积的最大值,以及此时直线l的方程.
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【题目】如果直线a平行于平面,则( )
A.平面内有且只有一直线与a平行
B.平面内有无数条直线与a平行
C.平面内不存在与a平行的直线
D.平面内的任意直线与直线a都平行
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【题目】为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元,试计算居民用电户用电410度时应交电费多少元?
(2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.
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【题目】下列四个命题
①若三个平面两两相交,则它们的交线只能平行或重合;
②若a、b是异面直线,则过不在a、b上的任一点一定可以作一条直线和a、b都相交;
③正三棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,若过SA、SB的中点作平行于侧棱SC的截面,则截面面积为;
④过球面上任意给定两点的平面与球面相截时其截面面积最大,则这样的平面只有一个.
其中( ).
A. 只有①,②成立.
B. 只有③成立.
C. 只有④ 成立.
D. ①、②、③、④都不成立.
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【题目】如图,四棱锥中,是矩形,平面,,,四棱锥外接球的球心为,点是棱上的一个动点.给出如下命题:①直线与直线所成的角中最小的角为;②与一定不垂直;③三棱锥的体积为定值;④的最小值为.其中正确命题的序号是__________.(将你认为正确的命题序号都填上)
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:.
(Ⅰ)求直线与曲线公共点的极坐标;
(Ⅱ)设过点的直线交曲线于,两点,求的值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形,底面,,,点为棱的中点,点分别为棱上的动点(与所在棱的端点不重合),且满足.
(1)证明:平面平面;
(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.
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