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如图在四棱锥PABCDPD底面ABCDADABCDABABAD2CD3直线PA与底面ABCD所成角为60°,MN分别是PAPB的中点.求证:

(1)MN∥平面PCD

(2)四边形MNCD是直角梯形;

(3)DN⊥平面PCB.

 

1)见解析(2)见解析(3)见解析

【解析】(1)因为点MN分别是PAPB的中点所以MN∥AB.

因为CD∥AB所以MN∥CD.

CD平面PCDMN平面PCD所以MN∥平面PCD.

(2)因为AD⊥ABCDAB所以CD⊥AD.

因为PD⊥底面ABCDCD?平面ABCD

所以CD⊥PD.

因为AD∩PDD所以CD⊥平面PAD.

因为MD平面PAD所以CD⊥MD.

MN∥CDMNCD

所以四边形MNCD是直角梯形.

(3)因为PD⊥底面ABCD所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角

从而∠PAD60°.

RtPDAADPDPA2MD.

在直角梯形MNCDMN1NDCD3CN

从而DN2CN2CD2所以DN⊥CN.

RtPDBPDDBNPB的中点DN⊥PB.

PB∩CNN所以DN⊥平面PCB.

 

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