如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=AD=2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA、PB的中点.求证:
(1)MN∥平面PCD;
(2)四边形MNCD是直角梯形;
(3)DN⊥平面PCB.
(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【解析】(1)因为点M、N分别是PA、PB的中点,所以MN∥AB.
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又CD平面PCD,MN平面PCD,所以MN∥平面PCD.
(2)因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥PD.
因为AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
因为MD平面PAD,所以CD⊥MD.
又MN∥CD,MN≠CD,
所以四边形MNCD是直角梯形.
(3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,
从而∠PAD=60°.
在Rt△PDA中,AD=,PD=,PA=2,MD=.
在直角梯形MNCD中,MN=1,ND=,CD=3,CN==,
从而DN2+CN2=CD2,所以DN⊥CN.
在Rt△PDB中,PD=DB=,N是PB的中点,则DN⊥PB.
又PB∩CN=N,所以DN⊥平面PCB.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第6课时练习卷(解析版) 题型:解答题
如图所示,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第4课时练习卷(解析版) 题型:解答题
如图①,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=60°,E是BC的中点.如图②,将△ABE沿AE折起,使二面角BAEC成直二面角,连结BC、BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.求证:
图①图②
(1)AE⊥BD;
(2)平面PEF⊥平面AECD.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
如图PA⊥圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的是________.(填序号)
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1中点.
(1)求证:AB1⊥BF;
(2)求证:AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点F,使BF⊥平面AEP,若存在,确定点P的位置;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若直线l与平面α不垂直,则在平面α内与直线l垂直的直线有________条.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
下列命题中正确的是________.(填序号)
①若直线a不在α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
④平行于同一平面的两直线可以相交.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
给出下列四个命题:
①没有公共点的两条直线平行;
②互相垂直的两条直线是相交直线;
③既不平行也不相交的直线是异面直线;
④不同在任一平面内的两条直线是异面直线.
其中正确命题是________.(填序号)
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第五章第5课时练习卷(解析版) 题型:解答题
水土流失是我国西部大开发中最突出的问题,全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林,其中西部占70%,2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%.
(1)试问,从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题?
(2)为支持退耕还林工作,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.7元计算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?
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