Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x）．函数f（x）=-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）写出函数f（x）的最小正周期和对称轴方程
（2）求函数f（x）的单调区间．
（3）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时求函数f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的坐标计算公式，以及二倍角公式，两角差的正弦公式，化简得到f（x），根据周期的定义和对称轴的定义即可期求出；
（2）利用三角函数的单调性即可求出单调区间；
（3）先判断单调性，即可求出最值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x）．
∴函数f（x）=-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-（$\sqrt{3}$cosxsinx-$\frac{1}{2}$cos2x）=-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的最小正周期为π和对称轴方程x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）在[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]上为减函数，在[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z，上为增函数，
（3）由（2）可知，函数f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]为减函数，在[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
∴当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）有最小值，最小值为f（$\frac{π}{3}$）=-1，
f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{2}$）=1，f（$\frac{π}{2}$）=-sin（$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最大值为1．

点评 本题考查向量坐标计算公式、二倍角公式、三角函数的单调性周期对称轴最值，属于中档题．