Question

14．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为1，侧棱AA₁=2，M，N分别是A₁C₁，A₁A的中点，
（1）求$\overrightarrow{CN}$的长；
（2）求cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞的值；
（3）求证：A₁C⊥D₁M．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\overrightarrow{CN}$的长．
（2）求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$，利用向量法能求出cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞．
（3）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$，$\overrightarrow{{D}_{1}M}$，由$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}M}$=0，能证明A₁C⊥D₁M．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为1，
侧棱AA₁=2，M，N分别是A₁C₁，A₁A的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，1，0），N（1，0，1），
$\overrightarrow{CN}$=（1，-1，1），
∴$\overrightarrow{CN}$的长|$\overrightarrow{CN}$|=$\sqrt{1+1+1}$=$\sqrt{3}$．
（2）A₁（1，0，2），D（0，0，0），C₁（0，1，2），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞=|$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$|=|$\frac{0-1+4}{\sqrt{6}×\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
证明：（3）M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，2$），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{D}_{1}M}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}M}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+0$=0，
∴A₁C⊥D₁M．

点评 本题考查$\overrightarrow{CN}$的长的求法，考查cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞的值的求法，考查A₁C⊥D₁M的证明，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．