Question

设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，|F₁F₂|=8，P为椭圆上的一点，|PF₁|+|PF₂|=10，PF₁⊥PF₂，则点P的个数是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：设PF₁=x₁，PF₂=x₂，则可知x₁+x₂的值，根据勾股定理知x₁²+x₂²=F₁F₂²，进而求得x₁x₂的值．根据韦达定理可知x₁，x₂是函数x²-10x+18=0的根，通过△判定方程有2不同根，故知P至少有2个，又根据椭圆的对称能求出点P的个数．

解答：解：设PF₁=x₁，PF₂=x₂，则x₁+x₂=10，
∵PF₁⊥PF₂，
∴x₁²+x₂²=64
∴x₁x₂=

1

2

，
[（x₁+x₂）²-x₁²+x₂²]=18，
依题意x₁，x₂，是函数x²-10x+18=0，
△=100-72=28＞0故方程有两个不同根．
又根据椭圆的对称性可知点p的个数为4．
故选A．

点评：本题主要考查椭圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与圆锥曲线的位置关系的应用．