Question

若二项式(

x

+

1

2 4 x

)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求：
（Ⅰ）展开式中含x的项；
（Ⅱ）展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析：先求出二项式的展开式的通项公式：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

，由已知可前三项成等差熟练可求n的值
，进而可得通项公式为Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4可得r，代入可求
（II）要求展开式中所有的有理项，只需要让

16-3r

4

为整数可求r的值，当r=0，4，8时，进而可求得有理项

解答：解：二项式的展开式的通项公式为：Tr+1=

C

r n

(

x

)n-r(

1

2 4 x

)r=

C

r n

1

2r

x

2n-3r

4

前三项的r=0，1，2
得系数为t1=1，t2=

C

1 n

•

1

2

=

1

2

n，t3=

C

2 n

•

1

4

=

1

8

n(n-1)
由已知：2t2=t1+t3，n=1+

1

8

n(n-1)
得n=8
通项公式为Tr+1=

C

r 8

1

2r

x

16-3r

4

（I）令16-3r=4，得r=4，得T5=

35

8

x
（II）当r=0，4，8时，依次得有理项T1=x4，T5=

C

4 8

1

24

x=

35

8

x，T9=

C

8 8

1

28

x-2=

1

256

x2

点评：本题主要考查了二项展开时的应用，解题的关键是要熟练掌握二项展开式的通项公式，根据通项公式可求展开式的指定项