【题目】在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:存在一个同心圆的集合,使得:(1)每个整点都在此集体的某一圆周上;(2)此集合的每个圆周上.有且只有一个整点.
【答案】见解析
【解析】
假设同心圆圆心为P(x,y)任两点整点A(a,b)和B(c,d),其中a = c,b = d不同时成立.
.
,
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∵,a = c,b = d不同时成立,
∴要使,只需取x为任意无理数,y取任意分母不为2的非整有理数即可(或x,y各取形如的最简非同类根式的无理数,其中).
如取(或),则任意两个不同整点到的距离都不相等.
把所有整点到P点的距离从小到大排成一列,以为圆心,以为半径作的同心圆集合即为所求.
(注:P点坐标还可其他超越数,如等等.)
证明三 设坐标平面上任两个不同整点A(a,b)和B(c,d),分三类情况讨论.
(1),中点,AB垂直平分线方程为;
(2),中点,AB垂直平分线方程为;
(3),中点,AB垂直平分线方程为.
显然,只有在上述三类直线上的点才有可能到平面上某两整点的距离相等.若取,则必然不在上述三类直线上,则到任意两个不同整点的距离都不相等.
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【题目】国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的概率分布如下:
0 | 1 | 2 | 3 | |
(1)求的值;
(2)若每个月被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率.
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【题目】已知抛物线的焦点为,为轴上的点.
(1)过点作直线与相切,求切线的方程;
(2)如果存在过点的直线与抛物线交于,两点,且直线与的倾斜角互补,求实数的取值范围.
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【题目】生活中万事万物都是有关联的,所有直线中有关联直线,所有点中也有相关点,现在定义:平面内如果两点、都在函数的图像上,而且满足、两点关于原点对称,则称点对(、)是函数的“相关对称点对”(注明:点对(、)与(、)看成同一个“相关对称点对”).已知函数,则这个函数的“相关对称点对”有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),点的极坐标为,设直线与曲线相交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求的值.
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【题目】已知函数(为常数,,的部分图象如图所示,有下列结论:
①函数的最小正周期为
②函数在上的值域为
③函数的一条对称轴是
④函数的图象关于点对称
⑤函数在上为减函数
其中正确的是______.(填写所有正确结论的编号)
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【题目】如图,在三棱锥中,,,D,E分别为BC,PD的中点,F为AB上一点,且.
(1)求证:平面PAD;
(2)求证:平面PAC;
(3)若二面角为60°,求三棱锥的体积.
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