Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，分别令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出a_n的表达式．
（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足：a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-a}$，
${a}_{3}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}$=$\frac{2-a}{3-2a}$，
a₄=$\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2a}}$=$\frac{3-2a}{4-3a}$．
由此猜想a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$．
（2）证明：①当n=1时，${a}_{n}=\frac{（1-1）-（1-2）a}{1-（1-1）a}$=a，成立；
②假设n=k时，成立，即${a}_{k}=\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}$，
则${a}_{k+1}=\frac{1}{2-\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}}$=$\frac{k-（k-1）a}{（k+1）-ka}$，成立，
由①②，得a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$．

点评 本题考查数列的前四项的求法和通项公式的猜想及证明，是中档题，解题时要注意递推思想和数学归纳法的合理运用．