Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过对角线BD₁的一个平面交AA₁于E，交CC₁于F，得四边形BFD₁E，给出下列结论：
①四边形BFD₁E有可能为梯形
②四边形BFD₁E有可能为菱形
③四边形BFD₁E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD₁E有可能垂直于平面BB₁D₁D
⑤四边形BFD₁E面积的最小值为

6

2

其中正确的是

 

（请写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析：四边形有两组对边分别平行知是一个平行四边形，当与两条棱上的交点是中点时，四边形BFD₁E为菱形，四边形BFD₁E垂直于面BB₁D₁D，四边形BFD₁E在ABCD内的投影是面ABCD，当E，F分别是两条棱的中点时，四边形BFD₁E面积的最小值为

6

2

．

解答：解：四边形BFD₁E有两组对边分别平行知是一个平行四边形，
故①不正确，
当两条棱上的交点是中点时，四边形BFD₁E为菱形，四边形BFD₁E垂直于平面BB₁D₁D，故②④正确，
四边形BFD₁E在底面ABCD内的投影是面ABCD，一定是正方形，
故③正确，
当E，F分别是两条棱的中点时，四边形BFD₁E面积的最小值为

6

2

，
故⑤正确．
总上可知有②③④⑤正确，
故答案为：②③④⑤

点评：本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题．