Question

14．已知函数f（x）是R上的增函数，点A（1，3）、B（-1，1）在它的图象上，f^-1（x）为它的反函数，则不等式|f^-1（log₂x）|＜1的解是（2，8）．

Answer 1

分析 根据题意可知f（1）=3，f（-1）=1则f^-1（3）=1，f^-1（1）=-1，然后化简不等式得f^-1（1）=-1＜f^-1（log₂x）＜1=f^-1（3），最后根据反函数的单调性建立关系式，解之即可求出x的范围．

解答 解：∵连续函数f（x）是R上的增函数，且点A（1，3）、B（-1，1）在它的图象上
∴f（1）=3，f（-1）=1，
则f^-1（3）=1，f^-1（1）=-1，y=f^-1（x）在R上单调递增
∵|f^-1（log₂x）|＜1
∴f^-1（1）=-1＜f^-1（log₂x）＜1=f^-1（3）
∴1＜log₂x＜3即2＜x＜8
故不等式|f^-1（log₂x）|＜1的解是（2，8），
故答案为：（2，8）

点评 本题主要考查了反函数，以及绝对值不等式的解法，同时考查了抽象函数的应用，属于基础题．