Question

【题目】如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路。

（1）已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米）

（2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长。

Answer 1

【答案】（1）445米；（2）在弧的中点处

【解析】

（1）假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解；（2）设设，在中根据正弦定理，用和表示和，进而利用和差公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求最值.

（1）方法一：设该扇形的半径为米，连接. 由题意，

得(米)，（米），

在中，

即，

解得（米)

方法二：连接，作，交于，由题意，得（米），

（米）， ，在中，

.

（米）. .

在直角 中，（米），

（米）.

（2）连接，设，

在中，由正弦定理得：，

于是， 则

，

所以当时，最大为 ，此时在弧的中点处。