Question

有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如果限定矩形的长CD为9米，那么矩形的高DE不能超过多少米，才能使船通过拱桥．
（3）若设EF=a，请将矩形CDEF的面积S用含a的代数式表示，并指出a的取值范围．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
把已知坐标（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式，
求得a=-，b=0，c=0．
故抛物线的解析式为y=-x²．（2分）
（2）∵CD=9
∴点E的横坐标为 ，则点E的纵坐标为
∴点E的坐标为 ，
因此要使货船能通过拱桥，则货船最大高度不能超过8-2=6（米）（5分）
（3）由EF=a，则E点坐标为 ，
此时
∴S_矩形CDEF=EF•ED=8a-a³（0＜a＜18）．（7分）
分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．利用待定系数法，把已知坐标（-9，-8），（9，-8），（0，0）代入解析式求得抛物线的解析式．
（2）已知CD=9，把已知坐标代入函数关系式可求解．
（3）已知EF=a，易求出E点坐标以及ED的表示式．易求矩形CDEF的面积．
点评：本题考查的函数模型的选择与应用，主要考查的是二次函数的实际应用以及矩形面积的运算．