Question

（2012•马鞍山二模）设函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

Answer 1

分析：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M；
（II）对于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max，进一步利用分离参数法，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)=3x(x-

2

3

)
∴g（x）在（0，

2

3

）上单调递减，在（

2

3

，2）上单调递增
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[

1

2

，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[

1

2

，2]上，f（x）=

a

x

+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当

1

2

＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（

1

2

，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1

点评：本题考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究．