Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点.
（1）求证：平面AED⊥平面A₁FD₁；
（2）在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面ADE.

Answer 1

(1)证明略 (2) 当=时，A₁M⊥平面ADE

  建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，
不妨设正方体的棱长为2，
则A（2，0，0），E（2，2，1），
F（0，1，0），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
设平面AED的法向量为n₁=（x₁，y₁，z₁），
则n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，0，0）=0，
n₁·=（x₁，y₁，z₁）·（2，2，1）=0，
∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.
令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),
同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).
∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,
∴平面AED⊥平面A₁FD₁.
（2）解 由于点M在直线AE上，
设==（0，2，1）=（0，2，）.
可得M（2，2，），∴=（0，2，-2），
∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，
只需A₁M⊥AE，
∴·=（0，2，-2）·（0，2，1）=5-2=0，
解得=.
故当=时，A₁M⊥平面ADE.