Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，-l），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①

OC

=3

OG

（O为坐标原点）；②|

MA

|=|

MB

|=|

MC

|；③

GM

∥

AB

．
（1）求顶点C的轨迹E的方程；
（2）直线l：y=x+t与曲线E交于P，Q两点，求四边形PAQB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）确定M的坐标，利用|

MA

|=|

MC|

，即可求出顶点C的轨迹E的方程．
（2）直线PQ的方程，将之代入（1）的方程中，运用设而不求韦达定理，根据S_PAQB=

1

2

|AB||x₁-x₂|，即可得到结论．

解答：解：（1）设C（x，y），
由①知，G为△ABC的重心，
∴G（

x

3

，

y

3

）
由②知M是△ABC的外心，∴M在x轴上．
由③知M（

x

3

，0），
由|

MA

|=|

MC|

得

( x 3 )2+1

=

(x- x 3 )2+y2

化简整理得：

x2

3

+y2=1（x≠0）；
（2）将y=x+t代入椭圆方程，可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由△＞0，可得t²＜4
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-

3

2

t，x₁•x₂=

3t2-3

4

∴S_PAQB=

1

2

|AB||x₁-x₂|=

3

2

•

4-t2

∴t=0时，四边形PAQB面积的最大值为

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，平面向量与共线向量，向量数量积的运算，以及求点的轨迹方程，考查了对知识的综合运用能力，属于中档题．