Question

如图，在平面内有三个向量

OA

，

OB

，

OC

，满足|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

与

OB

的夹角为120°，

OC

与

OA

的夹角为30°，|

OC

|=5

3

，设

OC

=m

OA

+n

OB

（m，n∈R，则m+n等于（　　）

• A．2

  3

• B．6
• C．10
• D．15

Answer 1

分析：利用平面向量的基本定理、向量垂直与数量积的关系及|

a

|=

a 2

即可得出．

解答：解：如图所示，过点C分别作CM∥OB，CN∥OA，分别交射线OA、OB于M、N．
则

OC

=

OM

+

ON

=m

OA

+n

OB

．
∵∠AOB=120°，∠AOC=30°，∴∠OCM=90°．
∴

OC

•

MC

=0=(m

OA

+n

OB

)•(n

OB

)，化为mcos120°+n=0，即m=2n．
又|

OC

|=5

3

，∴(5

3

)2=(m

OA

+n

OB

)2，
∴75=m²+n²+2mncos120°，化为m²+n²-mn=75．
联立

m=2n m2+n2-mn=75

，由图可知，m＞0，n＞0．解得

m=10 n=5

．
∴m+n=15．
故选D．

点评：熟练掌握平面向量的基本定理、向量垂直与数量积的关系及|

a

|=

a 2

是解题的关键．