Question

已知直线l：x=-2，圆C：x²+y²=4，动圆P恒与l相切，动圆P与圆C相交于A、B两点，且AB恒为圆C的直径，动圆P圆心的轨迹构成曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）已知Q（-1，0）、F（1，0），过Q的直线m与曲线E交于M，N两点，设直线FM，FN的倾斜角分别为θ₁，θ₂，问θ₁+θ₂是否为定值？

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，设点P（x，y），|x+2|²=（

x2+y2

）²+2²；从而得到曲线E的轨迹方程为y²=4x（x≠0）；
（2）设直线m的方程为y=k（x+1），与y²=4x（x≠0）联立得，k²x²+（2k²-4）+k²=0；再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；从而可得则x₁+x₂=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1；且tanθ₁=k_FM=

y1

x1-1

，tanθ₂=k_FN=

y2

x2-1

；从而可证tan（θ₁+θ₂）=0，从而解得．

解答： 解：（1）由题意，设点P（x，y），
则点P到直线l的距离d=|x+2|=r，
|PC|=

x2+y2

；
|AC|=2；
则|x+2|²=（

x2+y2

）²+2²；
故曲线E的轨迹方程为y²=4x（x≠0）；
（2）设直线m的方程为y=k（x+1）；
与y²=4x（x≠0）联立得，
k²x²+（2k²-4）+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
则x₁+x₂=-

2k2-4

k2

，x₁x₂=1；
则tanθ₁=k_FM=

y1

x1-1

，tanθ₂=k_FN=

y2

x2-1

；
则tan（θ₁+θ₂）=

tanθ1+tanθ2

1-tanθ1tanθ2

=

y1 x1-1 + y2 x2-1

1- y1y2 (x1-1)(x2-1)

=

y1(x2-1)+y2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)-y1y2

；
其中y₁（x₂-1）+y₂（x₁-1）
=k（x₁+1）（x₂-1）+k（x₂+1）（x₁-1）
=k（x₁x₂-x₁+x₂-1+x₁x₂-x₂+x₁-1）
=k（2x₁x₂-2）
=k（2-2）=0；
故tan（θ₁+θ₂）=0，
又∵θ₁，θ₂是直线的倾斜角，
故θ₁+θ₂=π．

点评：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用，属于中档题．