Question

8．已知f（x）=lg（2^x+2^-x），下列命题：①定义域为R；②值域为R；③在定义域上为偶函数；④在（-∞，0）上为减函数；⑤函数g（x）=f（x）-2恰有两个零点．其中正确命题是①③④⑤．（只要填写正确命题的序号）

Answer 1

分析 设g（x）=2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，得到函数的定义域和值域，判断①②，
根据函数奇偶性的定义判断③，
根据单调性的定义判断④，
根据零点就是方程的根，判断⑤．

解答 解：设g（x）=2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时取等号，
∴f（x）=lg（2^x+2^-x）的定义域为R，值域为（lg2，+∞），故①对，②错，
∵f（-x）=lg（2^x+2^-x）=f（x），
∴f（x）为偶函数，故③对，
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）+（${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{2}}$）=（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}}$）
∵y=2^x为增函数，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}}$＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（-∞，0）为减函数，
∵y=lgx为增函数，
∴f（x）在（-∞，0）为减函数，故④正确；
令g（x）=f（x）-2=0，
则f（x）=2，
∴lg（2^x+2^-x）=2=lg100，
∴2^x+2^-x=100，
设2^x=t，则t＞0，
∴t+$\frac{1}{t}$=100，
即t²-100t+1=0，
∴△=100²-4＞0，
∴t₁+t₂=100，t₁t₂=1，
∴t²-100t+1=0有两个不相等的正根，
∴g（x）=f（x）-2=0有两个不相等的根，
∴函数g（x）=f（x）-2恰有两个零点，故⑤对．
故答案为：①③④⑤

点评 本题主要考查了函数定义域、最值、单调性和奇偶性，零点，同时考查了推理论证的能力以及计算论证的能力，属于中档题．