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8.已知f(x)=lg(2x+2-x),下列命题:①定义域为R;②值域为R;③在定义域上为偶函数;④在(-∞,0)上为减函数;⑤函数g(x)=f(x)-2恰有两个零点.其中正确命题是①③④⑤.(只要填写正确命题的序号)

分析 设g(x)=2x+2-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2,得到函数的定义域和值域,判断①②,
根据函数奇偶性的定义判断③,
根据单调性的定义判断④,
根据零点就是方程的根,判断⑤.

解答 解:设g(x)=2x+2-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2,当且仅当x=0时取等号,
∴f(x)=lg(2x+2-x)的定义域为R,值域为(lg2,+∞),故①对,②错,
∵f(-x)=lg(2x+2-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,故③对,
设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2
∴g(x1)-g(x2)=${2}^{{x}_{1}}$+${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{2}}$=(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$)+(${2}^{-{x}_{1}}$-${2}^{-{x}_{2}}$)=(${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$)(1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}}$)
∵y=2x为增函数,
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}}$>0,
∴g(x1)-g(x2)<0,
∴g(x1)<g(x2),
∴g(x)在(-∞,0)为减函数,
∵y=lgx为增函数,
∴f(x)在(-∞,0)为减函数,故④正确;
令g(x)=f(x)-2=0,
则f(x)=2,
∴lg(2x+2-x)=2=lg100,
∴2x+2-x=100,
设2x=t,则t>0,
∴t+$\frac{1}{t}$=100,
即t2-100t+1=0,
∴△=1002-4>0,
∴t1+t2=100,t1t2=1,
∴t2-100t+1=0有两个不相等的正根,
∴g(x)=f(x)-2=0有两个不相等的根,
∴函数g(x)=f(x)-2恰有两个零点,故⑤对.
故答案为:①③④⑤

点评 本题主要考查了函数定义域、最值、单调性和奇偶性,零点,同时考查了推理论证的能力以及计算论证的能力,属于中档题.

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