Question

已知a＞0，函数f(x)=

1-ax

x

，x∈(0，+∞)．设0＜x1＜

2

a

，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x₂，0）．证明：
①0＜x2≤

1

a

；
②若x1＜

1

a

，则x1＜x2＜

1

a

．

Answer 1

分析：（I）欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））的一阶导数值．
（Ⅱ）①要求x₂的变化范围，则须找到使x₂产生变化的原因，显然，x₂变化的根本原因可归结为x₁的变化，因此，找到x₂与x₁的等量关系式，就成；②欲比较x₂与x₁的大小关系，判断它们的差的符号即可．

解答：解：（I）求f（x）的导数：f′(x)=-

1

x2

，由此得切线l的方程：y-(

1-ax1

x1

)=-

1

x2

(x-x1)．
（II）证：依题意，切线方程中令y=0，x2=x1(1-ax1)+x1=x1(2-ax1)，其中0＜x1＜

2

a

．
①由0＜x1＜

2

a

，x2=x1(2-ax1)，有x2＞0，及x2=-a(x1-

1

a

)2+

1

a

∴0＜x2≤

1

a

，当且仅当x1=

1

a

时，x2=

1

a

．
②当x1＜

1

a

时，ax1＜1，因此，x2=x1(2-ax1)＞x1，且由①，x2＜

1

a

所以x1＜x2＜

1

a

．

点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力．