Question

若关于x的不等式|x+1|+|x-1|≥|m-1|+|m-2|的解集是R，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据绝对值的几何意义，|x+1|+|x-1|的取值范围为≥2，因此要使关于x的不等式|x+1|+|x-1|≥|m-1|+|m-2|的解集是R，只要|m-1|+|m-2|≤2即可，解出不等式即可．

解答： 解：因为|x+1|+|x-1|≥2，所以要使关于x的不等式|x+1|+|x-1|≥|m-1|+|m-2|的解集是R，
只要|m-1|+|m-2|≤2，
解①当m≤1时，此不等式可以化为-（m-1）-（m-2）≤2解得m≥0.5，所以解集为[0.5，1]
②当1＜m＜2时，不等式可以化为（m-1）-（m-2）≤2解得R，所以解集为（1，2）
③当m≥2时，不等式可以化为（m-1）+（m-2）≤2解得m≤2.5，所以解集为[2，2.5]
综上可得，m的取值范围是[0.5，2.5]；
故答案为：[0.5，2.5]．

点评：本题考查了绝对值的几何意义的运用以及绝对值不等式的解法，同时考查了讨论的数学思想，属于中档题．