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已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),离心率e=数学公式
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N(M、N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.

解:(1)∵椭圆C的两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),离心率e=
∴c=1,a=2,b=
∴椭圆C的方程为
(2)将y=kx+m(k≠0)代入,消去y,得
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
∵直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,
∴△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,
整理得:3+4k2-m2>0.①…(6分)
设M(x1,y1)、N(x2,y2),
…(8分)
由已知,AM⊥AN,且椭圆的右顶点为A(2,0)
∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0…(9分)

也即
整理得:7m2+16mk+4k2=0
解得:m=-2k或 ,均满足①…(11分)
当m=-2k时,直线l的方程为 y=kx-2k,过定点(2,0),舍去
时,直线l的方程为 ,过定点
故,直线l过定点,且定点的坐标为.…(13分)
分析:(1)由椭圆C的两个焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),离心率e=,知c=1,a=2,b=,由此能导出椭圆C的方程.
(2)将y=kx+m(k≠0)代入,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,知△=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,由此入手,能导出直线l过定点,且定点的坐标为
点评:本题考查椭圆方程的求法,证明直线过定点,并求出定点坐标,具体涉及到椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的两个焦点为F1(-2
2
,0)
F2(2
2
,0)
,P为椭圆上一点,满足∠F1PF2=60°.
(1)当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点,且△MF2N的周长为12时,求C的方程;
(2)求△F1PF2的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”.
(1)若椭圆C过点(
5
,0)
,且焦距为4,求“伴随圆”的方程;
(2)如果直线x+y=3
2
与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点,那么请你画出动点Q(a,b)轨迹的大致图形;
(3)已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
,0)、F2
2
,0),椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2
|=2
3
.设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点,过点P作直线l1、l2使得l1、l2与椭圆C都各只有一个交点,且l1、l2分别交其“伴随圆”于点M、N.当P为“伴随圆”与y轴正半轴的交点时,求l1与l2的方程,并求线段|
MN
|
的长度.

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科目:高中数学 来源: 题型:

给定椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),称圆心在坐标原点O,半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”. 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
,0)、F2(
2
,0)
,椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2
|=2
3

(Ⅰ)求椭圆C及其“伴随圆”的方程
(Ⅱ)试探究y轴上是否存在点P(0,m)(m<0),使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点,且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
.若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),抛物线E以坐标原点为顶点,F2为焦点.直线l过点F2,且交y轴于D点,交抛物线E于A,B两点若F1B⊥F2B,则|AF2|-|BF2|=
4
4

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•潮州二模)已知椭圆C的两个焦点为F1(-1,0),F2(1,0),点A(1,
2
2
)
在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点B(2,0),设点P是椭圆C上任一点,求
PF
1
PB
的取值范围.

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