Question

已知椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率e=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率e=，
∴c=1，a=2，b=，
∴椭圆C的方程为．
（2）将y=kx+m（k≠0）代入，消去y，得
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，
整理得：3+4k²-m²＞0．①…（6分）
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则，…（8分）
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0…（9分）
即
也即
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或 ，均满足①…（11分）
当m=-2k时，直线l的方程为 y=kx-2k，过定点（2，0），舍去
当时，直线l的方程为 ，过定点，
故，直线l过定点，且定点的坐标为．…（13分）
分析：（1）由椭圆C的两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率e=，知c=1，a=2，b=，由此能导出椭圆C的方程．
（2）将y=kx+m（k≠0）代入，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，知△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，由此入手，能导出直线l过定点，且定点的坐标为．
点评：本题考查椭圆方程的求法，证明直线过定点，并求出定点坐标，具体涉及到椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．