Question

（2009•山东模拟）在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于 

S

2

的概率为

1

4

．

Answer 1

分析：设DE是△ABC平行于BC的中位线，可得当P点位于△ABC内部的线段DE上方时，能使△PAB的面积大于

S

2

，因此所求的概率等于△ADE的面积与△ABC的面积比值，根据相似三角形的性质求出这个面积比即可．

解答：解：分别取AB、AC中点D、E，连接DE
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE上一点到BC的距离等于A到BC距离的一半
设A到BC的距离为h，则当动点P位于线段DE上时，
△PAB的面积S=

1

2

BC•

1

2

h=

1

2

S_△ABC=

1

2

S
因此，当点P位于△ABC内部，且位于线段DE上方时，△PAB的面积大于

S

2

．
∵△ADE∽△ABC，且相似比

DE

BC

=

1

2

∴S_△ADE：S_△ABC=

1

4

由此可得△PAB的面积大于 

S

2

的概率为P=

S△ADE

S△ABC

=

1

4

故答案为：

1

4

点评：本题给出三角形ABC内部一点P，求三角形PBC面积大于或等于三角形ABC面积的一半的概率，着重考查了相似三角形的性质和几何概型的计算等知识，属于基础题．