Question

已知函数y=

1

3

x3+x2+x的图象C上存在一点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为（　　）

• A．-

  1

  3

• B．-

  2

  3

• C．-

  4

  3

• D．-2

Answer 1

分析：根据题意可知P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，从而得出正确选项．

解答：解：P为定点，y₁+y₂为定值，可以得出M、N两点关于P点对称
y′=x²+2x+1
y〃=2x+2
由于三次函数的对称中心点处的二阶导数为0
∴y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，-

1

3

）
y₀=y₁+y₂=-

1

3

×2=-

2

3

故选B．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，P点是函数图象的对称中心是解题的突破口，属于中档题．