Question

【题目】在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，

（1）求证：BD⊥平面SAC；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．

又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，

∴SC⊥面BDE，

∴SC⊥BD．

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

∴SA⊥BD．

而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC

（2）解：∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC．

∴∠EDC是所求的二面角的平面角．

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．

设SA=a，则AB=a，BC=SB= a

∵AB⊥BC，∴AC= a，在Rt△SAC中tan∠ACS=

∴∠ACS=30°．

又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

【解析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明先证BD⊥面SAC，（2）根据二面角的平面角的定义得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．