Question

（本小题满分12分）
已知函数的定义域是，对于任意的，有，且当时，．
（Ⅰ）验证函数是否满足上述这些条件；
（Ⅱ）你发现这样的函数还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由，即其定义域为；………………………… 2分
又，
，
有成立；……………………………………………………… 4分
又当时，，∴　，有成立；
∴　综上：满足这些条件．……………………………………………… 6分
（Ⅱ）发现这样的函数在上是奇函数．…………………………………………7分
∵　代入条件得，，
∵　代入条件得，，
∴　函数在上是奇函数．　…………………………………………………9分
又发现这样的函数在上是减函数．　…………………………………………10分
∵，
当时，，由条件知，
即，
∴　函数在上是减函数．……………………………………………………12分

略