Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x²-mlnx≥x²-x，转化为即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围．
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x-2lnx-a，设y₁=x-2lnx，y₂=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围．
（3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

处取得极小值即可．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，
即：x²-mlnx≥x²-x，
mlnx≤x，即：m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，
因为

x

lnx

在（1，+∞）上的最小值为：e，
∴m≤e．
实数m的取值范围：m≤e
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，
即：k（x）=x-2lnx-a，
设y₁=x-2lnx，y₂=a，分别画出它们的图象，
由图得：
实数a的取值范围（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，
由图可知，只须函数f（x）=x²-mlnx在x=

1

2

处取得极小值即可．
∵f（x）=x²-mlnx
∴f′（x）=2x-m×

1

x

，将x=

1

2

代入得：
1-2m=0，
∴m=

1

2

故存在实数m=

1

2

，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．

点评：数形结合思想是解析函数图象交点个数、函数零点个数中最常用的方法，即画出满足条件的图象，然后根据图象直观的分析出答案，但数形结合的前提是熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质．