Question

【题目】已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（2﹣x），
（1）写出函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）时的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=a恰有两个不同的解，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），

∵y=f（x）是奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）（2+x）]=x（x+2）

（2）解：由（1）得：f（x）= ．

当x∈[0，+∞）时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，最大值为1；

∴当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，最小值为﹣1．

∴据此可作出函数y=f（x）的图象，根据图象得，

若方程f（x）=a恰有2个不同的解，则a=±1

【解析】（1）由奇函数的定义当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞）即f（x）=﹣f（﹣x）=x（x+2）。（2）根据题意得到分段函数，再利用二次函数的最值求出两个极值，故可得当f（x）=a恰有2个不同的解时a=±1
【考点精析】关于本题考查的函数奇偶性的性质，需要了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能得出正确答案．