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(本小题共14分)

如图,在四棱柱中,底面是正方形,侧棱与底面垂直,点是正方形对角线的交点,,点分别在上,且

(Ⅰ)求证:∥平面

(Ⅱ)若,求的长;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求二面角的余弦值.

 

【答案】

解:(Ⅰ)证明:取,连结,

∴四边形为平行四边形,

    在矩形中,

    ∴四边形为平行四边形.

    ∴

    ∵平面平面

    ∴∥平面.       ————————4分

(Ⅱ)连结,在正四棱柱中,

    平面

    ∴

    ∴平面

    ∴

    由已知,得平面

    ∴

    在△与△中,

    ∴△∽△

    ∴.—————————9分

(Ⅲ)以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.

     

     

      由(Ⅱ)知为平面的一个法向量,

      设为平面的一个法向量,

      则  ,即 

,所以

      ∴

      ∵二面角的平面角为锐角,

      ∴二面角的余弦值为.  —————————13分

 

【解析】略

 

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(Ⅱ)求证:平面

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